曲线积分中x²的处理：标准答案为何能忽略(1/3)x³？

曲线积分例题详解：巧妙运用换元法

本文针对一道曲线积分例题中，关于积分步骤中x²处理的疑问进行详细解答。 例题中，计算∫x²sin(x³)dx 的过程，标准答案的处理方式引发了困惑：标准答案似乎直接将x²dx变换为(1/3)dx³，这与常规积分方法不同。

这种处理方法并非忽略了x²的积分结果(1/3)x³，而是巧妙地应用了换元积分法。

详细解析：

为了计算∫x²sin(x³)dx，我们采用u代换法：

令 u = x³，则 du = 3x²dx。 因此，x²dx = (1/3)du。

将代换式带入原积分：

∫x²sin(x³)dx = ∫sin(u)(1/3)du = (1/3)∫sin(u)du = -(1/3)cos(u) + C

最后，将u = x³代回，得到最终结果：-(1/3)cos(x³) + C。

结论：

标准答案并非忽略了x²的积分，而是通过换元积分法，将x²dx转化为(1/3)du，从而简化了积分过程，最终得到正确的结果。 因此，之前的疑问源于对换元积分法的理解偏差。