三维空间中两条线段的交点坐标如何求解？

求解三维空间中两线段交点坐标

在三维建模和计算机图形学中，判断两条线段是否相交并计算交点坐标至关重要。本文介绍如何求解空间中线段AB与CD的交点坐标，已知A(x1, y1, z1)、B(x2, y2, z2)、C(x3, y3, z3)和D(x4, y4, z4)。

首先，将线段参数化。线段AB的参数方程为：

x = x1 + t(x2 – x1) y = y1 + t(y2 – y1) z = z1 + t(z2 – z1)

其中0 ≤ t ≤ 1。 同理，线段CD的参数方程为：

x = x3 + s(x4 – x3) y = y3 + s(y4 – y3) z = z3 + s(z4 – z3)

其中0 ≤ s ≤ 1。

若两线段相交，则存在s和t值使得两组方程的x, y, z值相等。因此，我们建立方程组：

x1 + t(x2 – x1) = x3 + s(x4 – x3) y1 + t(y2 – y1) = y3 + s(y4 – y3) z1 + t(z2 – z1) = z3 + s(z4 – z3)

解此方程组即可得到s和t。 方程组可能无解（线段不相交）、有唯一解（线段相交于一点）或有无穷多解（线段重合）。

如果解得0 ≤ s ≤ 1且0 ≤ t ≤ 1，则两线段相交，将s或t代入任一方程组即可计算交点坐标。 若s或t不在[0, 1]范围内，则直线相交，但交点不在线段上。 无解则表示线段不相交。

为了提高计算效率和精度，建议使用向量运算。例如，利用向量叉乘判断直线是否平行，利用向量点乘判断点是否在线段上，从而有效避免数值计算误差。