曲线积分难题：如何巧妙换元求解 $int_0^1 rac{y^2}{sqrt{1-y^2}}dy$？

关于一道曲线积分的求解步骤详解

本文将详细解答一道曲线积分的计算难题，该题的核心在于一个巧妙的换元积分步骤。题目给出了一个定积分：$int_0^1 frac{y^2}{sqrt{1-y^2}}dy$，并希望了解其计算过程中的关键步骤是如何推导出来的。

题目中，提问者尝试使用极坐标进行计算，但未能得到正确结果。实际上，这里并不需要用到极坐标变换。答案的关键在于一个简单的换元法。

我们可以选择 $y = sin(t)$ 作为换元。当 $y$ 从 0 变到 1 时，$t$ 则从 0 变到 $frac{pi}{2}$。 需要注意的是，在这个区间 $[0, frac{pi}{2}]$ 内，$sin(t)$ 和 $cos(t)$ 都是非负的，因此 $sqrt{cos^2 t} = cos t$。

接下来，我们一步步进行换元：

首先，将 $y = sin(t)$ 代入积分式：

$int_0^1 frac{y^2}{sqrt{1-y^2}}dy$

替换 $y$ 和 $dy$：

$int_0^{frac{pi}{2}}frac{sin^2t}{sqrt{1-sin^2t}}dsin t$

利用三角恒等式 $1 – sin^2 t = cos^2 t$，并考虑到在积分区间内 $cos t$ 为正，可化简为：

$int_0^{frac{pi}{2}}frac{sin^2t}{sqrt{cos^2t}}cos tdt$

最终简化得到：

$int_0^{frac{pi}{2}}sin^2tdt$

这个积分式就相对容易计算了。 至此，我们就完成了从原积分到最终积分式的推导过程，解开了提问者关于换元步骤的疑惑。