如何求解三维空间中两条线段的交点坐标？

求解三维空间两线段交点坐标

本文阐述如何判断两条三维空间线段是否相交，并计算其交点坐标。设线段AB的端点坐标为A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，线段CD的端点坐标为C(x3, y3, z3)和D(x4, y4, z4)。

首先，将线段参数化表示。线段AB的参数方程为：

x = x1 + t(x2 – x1) y = y1 + t(y2 – y1) z = z1 + t(z2 – z1) (0 ≤ t ≤ 1)

同理，线段CD的参数方程为：

x = x3 + s(x4 – x3) y = y3 + s(y4 – y3) z = z3 + s(z4 – z3) (0 ≤ s ≤ 1)

若两线段相交，则存在参数s和t (0 ≤ s ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 1)，使得上述两个参数方程组的x, y, z值完全一致。因此，可列出如下方程组：

x1 + t(x2 – x1) = x3 + s(x4 – x3) y1 + t(y2 – y1) = y3 + s(y4 – y3) z1 + t(z2 – z1) = z3 + s(z4 – z3)

这是一个包含两个未知数s和t的线性方程组。解此方程组可求得s和t的值。若解出的s和t均在区间[0, 1]内，则两线段相交，交点坐标可通过将s或t代入任一方程组计算得到。若s或t不在[0, 1]区间内，则两线段不相交。

需要注意的是，方程组可能无解或有无数解。无解表示两线段平行或不相交；无数解表示两线段重合。实际编程中，需处理这些特殊情况，例如通过判断行列式是否为零来确定方程组解的唯一性。 只有在解出唯一解且s和t都在[0, 1]区间内时，才能确认两线段相交并计算交点坐标。