在三维空间中判断三角形重叠
在三维空间中，有两个三角形abc和def，如何判断三角形abc是否在三角形def中，即三角形abc的三个顶点是否全部位于三角形def所在的平面的一侧，并且在三角形def的边界以内？
算法步骤：
-
判断共面性：
- 计算三角形def的法线向量：n_def = (e – d) × (f – d)。
- 如果三角形abc的任意三个顶点到三角形def的三个边的法线向量点积都小于等于0，则三角形abc共面于三角形def。
-
判断内包关系：
-
对于三角形abc的每个顶点，判断其是否在三角形def的内部。
- 计算顶点到三角形def三条边的向量，并将其投影到平面n_def上。
- 再判断投影得到的向量是否全部满足平行于任意边界边且同向。
-
Java实现：
import java.util.Arrays; public class TriangleInTriangle { public static void main(String[] args) { // 三角形ABC的顶点坐标 double[][] abc = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}}; // 三角形DEF的顶点坐标 double[][] def = {{11, 12, 13}, {14, 15, 16}, {17, 18, 19}}; // 计算三角形DEF的法向量 double[] n_def = crossProduct(subtractVectors(def[1], def[0]), subtractVectors(def[2], def[0])); // 判断共面性 boolean isCoplanar = true; for (double[] point : abc) { if (dotProduct(subtractVectors(point, def[0]), n_def) > 0) { isCoplanar = false; break; } } // 判断内包关系 boolean isInside = true; for (double[] point : abc) { double[] projected = subtractVectors(point, def[0]); double[] edge1 = subtractVectors(def[1], def[0]); double[] edge2 = subtractVectors(def[2], def[0]); double dot1 = dotProduct(crossProduct(projected, edge1), n_def); double dot2 = dotProduct(crossProduct(projected, edge2), n_def); if (dot1 * dot2 < 0 || dot1 == 0 || dot2 == 0) { isInside = false; break; } } // 输出结果 System.out.println("三角形ABC是否在三角形DEF中：" + (isCoplanar && isInside)); } private static double[] crossProduct(double[] u, double[] v) { return new double[]{u[1] * v[2] - u[2] * v[1], u[2] * v[0] - u[0] * v[2], u[0] * v[1] - u[1] * v[0]}; } private static double dotProduct(double[] u, double[] v) { return Arrays.stream(u).map(c -> c * c).sum() * Arrays.stream(v).map(c -> c * c).sum(); } private static double[] subtractVectors(double[] u, double[] v) { return new double[]{u[0] - v[0], u[1] - v[1], u[2] - v[2]}; } }
