曲面积分难题
本篇问答针对求解曲面积分问题“I=∫∫(x +1)dydz (2y+ 2)dzdx (3z +3)dxdy”展开，其中“∑”代表曲面x² +y² +z²=4的内侧。
求解思路：
这一积分无法直接求解，但我们可以考虑使用高斯公式将其转化为区域积分。高斯公式指出，对于光滑曲面∑，
∮∮∑ Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=−∭Ω(∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z)dxdydz
其中Ω是∑围成的区域。对于内侧曲面，公式符号应加上负号。
应用高斯公式：
在这种情况下，我们有
P(x,y,z) = x + 1
Q(x,y,z) = 2y + 2
R(x,y,z) = 3z + 3
因此，
∂P/∂x = 1
∂Q/∂y = 2
∂R/∂z = 3
将这些偏导数代入高斯公式，并注意曲面∑的内侧，得到：
-∬∑(x + 1)dydz(2y + 2)dzdx(3z + 3)dxdy = -∭Ω(1 + 2 + 3)dxdydz
简化区域积分：
最后，我们将区域积分化简为：
-∭Ω6dxdydz = 6(π⁴/3)
结果：
因此，积分I的解为6π²。
